当需要从定量的角度分析和研究一个实际问题时， 人们就要在深入调查研究、 了解 对 象 信息、 作出简 化假设、 分析内在规律等工作的基础上， 用数学的符号和语言， 把它表述为数学式子， 也 就 是 数 学 模 型， 然 后用通过计算得到的模型结果来解释实际问题 并 接受 实 际 的 检 验。 这 个 建 立 数 学 模 型 的 全 过 程就 称 为 数学建模。MATLAB 是一种准确、 可靠的科学计算 标 准 软 件， 它具 有 强 大 的 矩阵 运 算 功能 与 函 数 多 样 性 功能， 是数学建模中常用的工具。 一般说来， 在现代商业、 金融投资中， 投资者总是希望实现收益最大化， 关注于采用什么样的投资方式 可以使总收益最大。然而投资是要承担风险的， 而且高收益总是伴随着高风险， 收益与风险之间存在着难 以调和的矛盾。怎样兼顾两者， 寻找切实可行的决策思想， 是投资的收益和风险决策的一个重要问题。 一、 问题的提出 1， 2， ……， n) 可以选择， 市场上有 n 种资产 s i ( i = 0 ， 现 用 数 额 为 M 的 相当大 的 资 金 进 行 一个 时 期的 投资。这 n 种资 产 在这 一 时 期 内 购 买 s i 的 平 均 收益 率 为 r i ， 风险损失率为 qi ， 投 资越 分 散， 总的 风 险 越 小， 总体风险可用投资的 s i 中最大的一个风险来度量。 购买 s i 时 要 付 交 易 费 ( 费 率 p i ) ， 当购买额不超过给定值 u i 时， 交 易 费 按 购 买 u i 计 算。 另 外， 假定同 期银行存款利率是 r0 ( r0 = 5 % ) ， 既无交易费又无风险。 已知 n = 4 时相关数据为
投资学中的资本资产定价模型（CAPM）风险与预期收益的关系资本资产定价模型（Capital Asset Pricing Model, CAPM）是投资学中广泛应用的理论模型，它用于评估资产的预期收益与风险之间的关系。
该模型的核心思想是通过系统性风险，即贝塔系数，来解释预期收益率，从而提供了一种衡量投资风险的方法。
一、CAPM模型基本原理CAPM模型是由美国学者威廉夏普、约翰莱特纳和杰克特雷纳提出的。
该模型建立在一系列假设的基础上，包括投资者风险厌恶程度相同、无风险利率存在、市场资产组合是风险资产的惟一有效组合等。
根据这些假设，CAPM模型得出了风险与预期收益之间的线性关系，即预期收益率等于无风险利率加上风险溢价，而风险溢价等于资产的贝塔系数乘以市场风险溢价。
二、风险与预期收益的关系在CAPM模型中，风险通过资产的贝塔系数来度量。
贝塔系数是一个衡量资产价格与市场整体波动性之间关系的指标，它代表了资产相对于市场的敏感性。
贝塔系数大于1表示资产的价格波动幅度大于市场，小于1表示资产的价格波动幅度小于市场，等于1表示资产的价格波动与市场相同。
三、市场风险溢价CAPM模型中的市场风险溢价是指投资者愿意支付的超过无风险利率的溢价。
根据CAPM模型，市场风险溢价等于市场整体风险与无风险利率之差，即市场风险溢价=市场预期收益率-无风险利率。
四、CAPM模型的应用与局限性CAPM模型在投资组合的风险评估、资产定价等方面具有广泛的应用。
通过使用CAPM模型，投资者能够评估特定资产的预期收益与风险，并与市场整体表现进行比较，以作出投资决策。
投资收益和风险的优化模型摘要如何投资是现代企业所要面临的一个实际问题，投资的目标是收益尽可能大，但是投资往往都伴随着风险。
实际情况不可能保证风险和收益同时达到最优，因为收益和风险是矛盾的两个方面，收益的增长必然伴随着风险的提高。
怎样分配资金才能做到统筹兼顾？在本文中，我们首先建立了一个多目标规划模型（模型一），目标函数分别为风险和收益。
由于M 是一笔相当大的资金，所以我们开始先忽略了i u 对模型的影响，将其转化成了一个形式更为简单的多目标线性规划模型。
为了求解此模型，我们将风险的上限限制为c ，这样多目标规划模型就转化成了一个带参量c 的线性规划模型（模型二）。
当给定参数c 时，这带参量c 的线性规划个模型就是一个一般的线性规划模型，由此可以唯一地求解出目标函数的最大值max g 。
如果我们求得了函数)(max c g ，就能够知道：当公司能承担的总风险损失率c v ≤时，公司能得到的最大总平均收益率，及其应投入各个项目i S 的资金率i x 。
这样我们在求解模型二的同时，也将模型一的非劣解解空间给了出来，即图1中的OA 、AB 段。
不同的企业，对于风险和收益的侧重不同，所以作出的决策也不同，自然得到的收益和承受的风险也不尽相同。
但无论怎样都应在我们给出的非劣解解空间中取值，这样才可能实现“风险尽可能小，收益尽可能大”。
针对第一组数据，我们给出了一个“通用性较强”的投资分配方案，即对大多数企业都合适的投资选择方案，应用此方案，总风险为M ⋅%61.0, 总收益可以达到M ⋅%59.20；类似地，针对第二组数据，我们利用效用函数的方法也给出了一个“通用性较强”的投资分配方案应用此方案，总风险为M ⋅%2.10, 总收益可以达到M ⋅%70.34。
投资组合的风险与收益模型分析投资组合是投资者通过配置多种不同的资产形成的投资组合，以达到在投资风险不变的情况下获得更高的收益目的。
因此，通过风险与收益模型的分析，可以帮助投资者更加准确地评估投资组合的风险和收益，制定合理的投资决策。
由于不同资产的价格变化具有一定的随机性，因此，投资组合的风险很难通过某一单一指标来衡量。
1. 方差模型方差模型是最简单直观的风险模型，它用投资组合中各资产的预期收益率和其权重，计算出投资组合的预期收益率和方差，以此来评估投资组合的风险程度。
根据方差模型，投资者可以通过分散投资资产、选择高信用等级的债券、降低投资组合中某些资产的权重等方式来降低投资组合的风险。
2. 协方差模型协方差模型考虑了投资组合中各资产之间的关联性，它通过计算资产间的协方差，来衡量投资组合的风险。
投资者可以通过降低资产间的关联性、增加投资组合中不同种类的资产等方式来降低投资组合的风险。
3. 随机模拟模型随机模拟模型通过采用蒙特卡罗方法等随机模拟技术，模拟多种不同市场情况下的投资组合收益率变化，并对其分析、评估。
相对于前面两种模型，随机模拟模型更能反映现实的市场波动性，因此更加真实可靠。
二、投资组合的收益模型投资组合的收益是指投资者在特定投资期间内所获得的资本收益。
由于不同资产的收益率的高低程度和变化节奏各异，因此，投资组合的收益率往往也是多种不同资产收益率的组合。
1. 期望收益率模型期望收益率模型通过计算投资组合中各项资产预期收益率的加权平均值，来确定投资组合的期望收益率。
投资学中的投资决策模型和决策分析投资决策是指在满足风险和回报要求的前提下，通过分析和选择投资项目，选择最佳的投资策略。
在投资学中，有许多经典的投资决策模型和决策分析方法，它们对投资者在决策过程中提供了有益的参考。
一、现金流量模型现金流量模型是一种常见的投资决策模型，它是基于现金流量的预测和现金流量的时间价值进行投资决策的。
在这个模型中，投资者首先需要预测投资项目的未来现金流量，并根据现金流量的时间价值进行贴现，然后计算出该项目的净现值。
二、风险-收益模型风险-收益模型是另一种常见的投资决策模型，它将投资的风险和收益进行了有机地结合。
在这个模型中，投资者首先需要对投资项目的预期收益进行估计，并计算出该项目的风险。
然后，投资者可以通过构建风险-收益的权衡关系图来选择最佳的投资组合，即在给定风险水平下，可以获得最高收益的投资组合。
三、敏感性分析和场景分析敏感性分析和场景分析是投资决策中常用的决策分析方法。
敏感性分析是通过对关键变量进行变动，观察其对投资决策结果的影响程度，以评估投资决策的敏感性。
场景分析是根据不同的经济、行业和市场情景，对投资决策方案进行评估和比较。
通过这两种分析方法，投资者可以更全面地了解投资项目的风险和回报，从而作出更加明智的决策。
四、投资组合理论投资组合理论是对多个投资项目进行组合，以达到降低整体风险、提高整体回报的目的。
通过投资组合理论，投资者可以有效地分散风险，优化投资组合，从而降低整体风险。
决策树通过将决策过程和结果以树状图形式表示出来，便于投资者对每个决策点和可能结果进行分析和评估。
通过构建决策树，投资者可以清晰地理解投资决策的不同选择和可能结果，从而做出最佳决策。
在投资学中，投资决策模型和决策分析方法给予了投资者科学和理性的决策指导。
– 当由两种证券构成投资组合时，只要ρAB1，投资 组合的标准差就小于这两种证券各自的标准差的加
权平均数，也就是投资组合多元化的效应就会发生数学建模—投资的收益和风险问题
学建模二号：名：级：投资的收益和风险问题摘要：某投资公司现有一大笔资金（8000 万），可用作今后一段时间的市场投资，假设可供选择的四种资产在这一段时间的平均收益率分别为 r i ，风险损失率分别为 q i 。
考虑到投资越分散，总的风险越小，公司确定，当用这笔资金购买若干种资产时，总体风险可用所投资的资产中最大的一个风险来度量。
具体数据如下表：对于第一问，我建立了一个优化的线性规划模型，得到了不错的结果。
如果可供选择的资产有如下15 种，可任意选定投资组合方式，就一般情况对以上问题进行讨论，结果又如何？对于第二问，考虑独立投资各个项目的到期利润率，通过分析，发现数据中存在着相互的联系。
如第一个项目今后五年的到期利润率为：第一年：0.1431 第二年：0.1601 第三年：0.0605 第四年：0.1816 第五年：0.1572 。
通过数学计算，可以推算出均衡定价的条件： ifjE（rfl） 式中： ri— 证券 i 高于无风险利率的超额回报； β ifj—— 第 i 种 证券对第j 个因素的敏感性； rfj—第j个系统性因素的高于无风 险利率的超额回报，这一回报可以看作第j个系统性风险的价格 （或风险溢价）。
为了描述 APT 模型，在这里我们假定一个资产组合中包括 了三种证券，这三种证券受两种因素的影响。其中： Ri为证券i（i=1,2,3,）的随机收益率 E（Ri）为证券i（i=1,2,3,）的预期收益 β ih为第i种证券对第h个因素的敏感性指数 Fn为影响三种证券共同的第n种影响因素
股票组 别 含20种股票的资产组 合的标准差 各组股票的平均 β 值 极限值
资产组合的β 值则可以通过单个证券的β 值及在资产组 合中每项资产所占的比重予以确定：金融学十大模型
金融学十大模型引言：金融学作为一门研究经济资源配置和金融市场运作的学科，涉及的内容广泛而复杂。
本文将介绍金融学领域中的十大重要模型，帮助读者更好地理解金融市场的运作和决策过程。
1.资本资产定价模型（CAPM）CAPM是金融学中最基本、最重要的模型之一。
它描述了资产定价的原理，通过衡量资产的系统风险和市场风险，预测资产的预期回报率。
2.有效市场假说（EMH）EMH认为金融市场是高度有效的，即市场上的价格反映了所有可获得的信息。
这一模型对于投资者来说具有重要的指导意义，告诉他们不应该试图通过分析市场来获得超额收益，而应该追求市场上的均衡投资组合。
4.资本结构理论资本结构理论研究公司资本结构的最优化问题，即确定债务和股权的比例。
5.股票定价模型股票定价模型用于估计股票的公允价值，帮助投资者决定是否购买或出售股票。
6.利率期限结构模型利率期限结构模型研究不同期限的债券收益率之间的关系。
7.国际资本资产定价模型（ICAPM）ICAPM是CAPM的扩展，它考虑了国际金融市场的影响。
金融风险管理中的市场风险模型金融领域中，市场风险是指由于市场波动而导致的投资组合或资产价值的损失风险。
为了有效管理市场风险，金融机构广泛应用市场风险模型来量化并监测市场风险的变动。
市场风险模型是一种数学模型，通过对金融市场的历史数据和相应的风险因素进行分析，可以预测未来市场风险的变动。
1. 方差-协方差模型方差-协方差模型是最基本和常见的市场风险模型之一。
该模型的优点是简单易懂，但它基于历史数据，对市场风险的未来变动预测能力有限。
它的主要思想是将历史数据作为样本，模拟不同市场环境下的投资组合回报率，从而评估市场风险。
不过，历史模拟模型也有缺点，即它只能依赖历史数据，无法考虑到市场的新变化。
该模型通过生成一系列随机数，并将其代入投资组合回报率的模型中进行模拟，从而得到不同市场环境下的投资组合回报率分bwin官网布，进而评估市场风险。
该模型的优点是可以模拟多种复杂的金融情景，但它也需要大量的计算和时间成本。
该模型通过对金融时间序列的建模，得到收益率的概率分布函数，并通过概率分布函数来评估市场风险。
该模型的优点是能够较准确地估计市场风险，但它也需要大量的历史数据进行建模。
它们可以帮助金融机构根据不同的市场情况和风险承受能力，制定合理的风险管理策略，并及时调整投资组合，降低市场风险的影响。
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市场投资的收益和风险模型李吉志 胡驿姿 胡凯摘要本文提出了一个多目标规划的数学模型，解决了市场投资方案的问题，使收益值尽可能大，风险值尽可能小。
为了方便求解，我们把非线性的转化为线性的，并将两个目标函数用加权系数法，引入加权系数，转化为一个目标函数，其中反应的是风险水平。
另外，在考虑交易费时，由于有个最小给定值的约束使问题很复杂，为了简化，我们将问题简化为只考虑超过部分的交易费，这样也利于求解。
关键词：多目标规划 加权系数法 市场投资一、问题的重述市场上有n 种资产（如股票、债券、…）),,1(n i S i 供投资者选择，某公司有数额为M 的一笔相当大的资金可用作一个时期的投资。
公司财务分析人员对这n 种资产进行了评估，估算出这在这一时期内购买i S 的平均收益率为i r ，并预测出购买i S 的风险损失率i q 。
考虑到投资越分散，总的风险越小，公司确定，当用这笔资金购买若干种资产时，总体风险可用所投资的i S 中最大的一个风险来度量。
购买i S 要付交易费，费率为i p ，并且当购买额不超过给定值i u 时，交易费按购买iu 计算（不买当然无须付费）。
（0r =5%）1、已知n = 4时的由给出的相关数据，试给该公司设计一种投资组合方案，即用给定的资金，有选择地购买若干种资产或存银行生息，使净收益尽可能大，而总体风险尽可能小。
二、模型的假设1、假设确定M 相当大，这一条件可以在交易额很小时，忽略交易费；2、假设投资越分散，总的风险越小，且总体风险可用所投资的资产当中最大的一个风险来度量；3、假设交易费按购买计算，在不买的情形下当然无须付费；4、假设同期银行存款利率保持定值不变，且既无交易费又无风险。
三、符号的约定:n 市场资产数目；:i S 市场资产的种类（其中0S 表示投资银行）； :i m 选择投资i S 的资金比例（其中0m 表示投资银行的资金比例）； :i r 购买i S 的平均收益率；:i q 购买i S 的风险损失率； :i p 购买i S 的交易费率:i U 交易费用；:i u 交易额较低时的交易费用；:M 总给定的投资资金；:f 净收益额； :g 总体风险。
四、模型的建立与求解（一）问题一的分析、模型的建立与求解1、问题的分析该问题为一个多目标规划问题，即要提出一种投资方案，既要收益尽可能大，又要让风险最小。
在投资每一种资金的同时，都有着相应的一组数据对应，即收益率i r ，风险损失率i q ，交易费率i p 。
但在考虑交易费时需要分段考虑：0 0; ; .i i i i i i i i Mm U u Mm u Mm Mm u =⎧⎪=≤⎨⎪⎩在考虑总体风险时，我们要求值最小，而风险又是在所有投资项目中最大的一个风险来度量，即要求在风险的最大值中找到一组最小值解，实际为一极小极大值问题。
问题的复杂在于交易费有个最小给定值的约束，我们如果有一部分投资额低于给定值时，问题将十分麻烦，将对4种投资各进行两次判断是否达到最低给定值，那么总共的情况就有82256=种。
在最好的一种方便的情况下，就是4中投资额都超过最低给定值，将使问题清晰，一目了然。
然而在假设中M 为相当大，我们就更有理由将交易费低于给定值的情形忽略，将问题简化为只考虑超过部分的交易费。
转化为一个目标函数：min (1)()F g f λλ=+-⋅- 01λ≤≤λ反应的是风险水平，0λ=时投资者只顾收益不顾风险，这样，收益可能达到最大，但是风险也达到最大；1λ=时投资者总是担心风险，不会考虑收益，这样就会把投资全部放在银行。
对于第二个目标函数，是一个非线性的，解决十分麻烦，但是该式总有一个最大值5m ，则有5i i m q m ≤，于是可以把该式转化为一个约束条件让问题简便。
我们取0,0.1,0.2,,1λ= ，编程搜索求解得到最佳抉择与收益及其风险见表1：4、问题的结果投资组合表中的收益与风险值之间的关系见图1：收益风险图1：收益与风险值关系可以看出，在收益增大的同时，风险也在增大。
而由图也可以看出，在风险为0的情形下，收益值为0.05，此时刚好正是全部投资银行的收益值。
（二）问题二的分析、模型的建立与求解1、问题的分析本问题要求给出一般情况的讨论，实际上，在问题一的基础上我们很容易归结出该模型的一般情况。
相同的，我们还是当作M 很大的时候，交易费很低时，U 值可以忽略，使问题简化。
由于一般情形中假设投资额较小时，可以忽略，验证该情况下的交易费：151511=181.6730i i i i i U U p u ====∑∑可以看出，对于相当大的M ，该值不计时符合的。
运用相同的方法计算得到最佳抉择与收益及其风险见表2：4上表中投资组合表中的收益与风险值之间的关系见图2：收益风险图2：15n 时收益与风险关系由图可以看到，收益值增加的同时，风险也在增大。
五、模型的检验与灵敏度分析1、实用性分析我们在简化模型的时候，是在i i Mm u 的前提下给出解集的，也就是要满足每一项投资：ii u m M。
但是我们的模型在0i i um M≤时，给出的解就不再时最优解。
2、灵敏度分析①对最小的投资额的分析在适用性满足的条件下，我们得找出一个最小的投资额min max{}iiu M m =，看不同的情况下的灵敏度。
对于不同的λ值对应的min M 如表3：表3：不同的λ值对应的min M总体说来，min M 的值比起充分大的M 来说，还是很小的；而且可以看出，在[0.21,1]λ∈这个大的范围之内，全部存入银行，不考虑最小值。
②对n 值的分析由问题一与问题二可知，在n 增大的情况下，得到的收益值越大，且风险值越小。
③对相关数据的分析由于投资项目的各组数据值较多，也容易变化，参考起来比较复杂。
六、模型的评价与推广1、模型的优点本问题在一定程度上综合考虑了投资的利弊，给出了一个多目标的线性模型，在M充分大的条件下，再利用加权系数法，使问题简化，转变为线性规划模型，运用MATLAB 中的优化工具箱得到解。
2、模型的缺点在加权系数λ给定的同时，发现计算数据跳跃比较大，而没有再细化λ值，让数据比较连贯。
而在实际生活中，尽管交易费很低，但是在多次交易当中，该部分就不得不重视，所以模型有待进一步的改进与完善。
3、模型的推广该问题可以推广到n种情况的投资，用来组合投资，让收益值最大而风险值最小。
七、参考文献[1]姜启源，《数学模型》（第三版），北京：高等教育出版社，2003。
[3]叶其孝，《大学生数学建模竞赛辅导教材》，北京，湖南教育出版社，1993。